VELOCIDADES CALCULADA POR TRAMOS

Calculo de pérdida de velocidad (deceleración)
(Edición julio 2011)
INTRODUCCION.
El presente artículo incluye componentes que seguramente servirán como herramienta para facilitar el cálculo en un caso frecuente, que es el determinar la velocidad inicial de un vehículo que se desplaza frenando o rodando en sucesión sobre superficies con distintos coeficientes de roce.
Se ha considerado el caso de un automóvil de pasajeros convencional, con su conductor como único ocupante.
El presente trabajo se apoya especialmente en un procedimiento para calcular las deceleraciones de varios tramos sucesivos utilizando un pequeño programa elaborado en Excel®
Este aporte contribuye a disminuir significativamente el tiempo que insume un cálculo de esta naturaleza cuando no se dispone de apoyo informático.
El conjunto se compone de:
El presente memorandum explicativo y descriptivo.
Una planilla de Excel ® (frenado sobre varias superficies.xls)
Utilizando las herramientas de cálculo incluidas en el trabajo, se podrá calcular las pérdidas de velocidad de un vehículo que circula en las condiciones que a continuación se mencionan.
A - Casos de vehículos que se desplazan sucesivamente sobre calzadas de distintos coeficientes de roce, pero donde sus cuatro neumáticos se posicionan completamente sobre una calzada con un coeficiente de roce determinado y no comparten, simultáneamente, coeficientes de roce de distinto valor. Esto significa que las 4 ruedas circulan al mismo tiempo, sobre pavimento o césped, o arena u otra calzada.
B - Casos de vehículos que se desplazan sucesivamente sobre calzadas de distintos coeficientes de roce, pero donde sus cuatro neumáticos se posicionan sobre tramos de calzada donde los coeficientes de roce son distintos. Se menciona el caso de neumáticos de ejes que no comparten el coeficiente de rozamiento con sus pares, es decir que 2 de sus ruedas circulan por una calzada y las restantes por otra distinta, con distintos coeficientes de roce, caso que suele darse en los casos de grandes recorridos de frenado o rodamiento.
DESARROLLO DEL TRABAJO.
Huellas de frenado.
Las huellas de frenado de un vehículo, con neumáticos bloqueados, identificadas por su trazado recto en la dirección de marcha de un vehículo, son utilizadas para el cálculo de su deceleración o pérdida de velocidad.
Se funda este criterio en que la energía cinética del móvil se transforma en trabajo de frenado.
Los datos necesarios son:
m = masa del Vehículo [N ]
v = su velocidad [m/seg.]
W = su peso [Kg. peso]
μ = factor de rozamiento [adimensional]
s = distancia recorrida [metros]
que se vinculan por la siguiente ecuación:

½*m*v2 = W*μ*s (1)

que, luego del álgebra, queda finalmente

(2)

De todos ellos, el valor del coeficiente de fricción μ es determinante, y debe ser seleccionado de tablas que lo contienen, salvo que se obtenga en el lugar del hecho. Las dimensiones de las huellas están sujetas a los métodos de medida y la precisión de los instrumentos utilizados.
Los defectos en estas magnitudes conducen a resultados con distintas medidas de error.
Aquel coeficiente se expresa como el cociente entre la fuerza de fricción sobre la calzada y el peso del móvil, según la siguiente expresión
μ = F/w (3)

El esfuerzo de roce depende, por lo tanto, de dos variables: la Fuerza perpendicular a la superficie de contacto (generalmente, el peso del objeto ) y el coeficiente de fricción, relacionado con la rugosidad de la superficie
Los valores consignados en esas tablas dependen de condiciones variables, (tipo de calzada y grado de humedad, generalmente) que deben ser interpretados y evaluados correctamente por el analista, para aplicar el valor que mejor interpreta la situación que debe calcularse.
Pruebas de frenado de emergencia (bloqueo de ruedas) realizadas sobre pavimento asfáltico a una velocidad de 64 kph, mostraron un retardo de 0.12 segundos entre el instante de la aplicación de los frenos y el bloqueo total de las ruedas.
Algunos autores sostienen que el retardo puede ser mayor, llegando a 0.5 segundos.
De allí que cuando se calcula la pérdida de velocidad de un vehículo a partir de la longitud de las huellas de frenado en el tramo inicial, algunos autores recomiendan aumentar el valor obtenido en un 15 a 25%. En nuestras determinaciones hemos encontrado que los porcentajes a adicionar a los valores de velocidad inicial se sitúan entre un 5 a un 10%.
En situaciones de pánico, los conductores generalmente aplican los frenos con gran rapidez y mucha presión, haciendo que la casi totalidad del frenado se lleve a cabo al 100% de patinado o deslizamiento. Esta razón lleva a usar muy criteriosamente los porcentuales de incremento más arriba descriptos.
Los autos de pasajeros no tienen la misma carga sobre los ejes durante una marcha a velocidad uniforme o cuando se encuentran en reposo. Durante un frenado violento, la carga es transferida en la dirección frontal y, en ese caso no es necesario hacer ninguna corrección cuando todas las ruedas están bloqueadas. Sin embargo, cuando los coeficientes de roce de los neumáticos difieren de un eje a otro, no se puede utilizar el mismo coeficiente de fricción para los neumáticos de ambos ejes.
En ese caso debe aplicarse un coeficiente de roce dado por la expresión:


donde:
F = factor de deceleración del vehículo
ff = factor resistente del eje delantero
xf = distancia desde el C.G. al eje frontal expresado como fracción decimal de la distancia entre ejes.
ft = factor de deceleración del eje trasero
ξ = altura del C.G. expresado como fracción decimal de la distancia entre ejes.
Todos los valores son adimensionales.
Para determinar la caída de velocidad (deceleración) de un vehículo frenando hasta detenerse sobre una calzada, se requiere conocer los coeficientes de fricción de la superficie, la longitud de las marcas y la posición del centro de masa del vehículo.
En oportunidades, el experto se encuentra con que el vehículo recorre tramos con distintos coeficientes de roce, en cuyo caso es necesario efectuar los cálculos teniendo en cuenta esas diferencias.
A cada uno de esos tramos corresponde un porcentaje sobre el total de la energía cinética total disponible, que se consume en el trabajo de frenado.
Haremos el desarrollo de las expresiones y las aplicaremos en un caso ejemplo, referido a un accidente en ruta, en el que un automóvil (Renault) inicia su frenada sobre el pavimento y luego abandona la calzada y continúa desplazándose en sucesión sobre superficies con distintos coeficientes de roce, (pavimento y césped) hasta detenerse totalmente..
Como paso previo a la exposición del cálculo en Excel®, desarrollaremos una conocida expresión que expresa las velocidades en tramos donde el vehículo decelera, pero sin detenerse al finalizar cada tramo, que es de aplicación en casos como el que aquí analizamos
Vo =
Expresamos el balance de energía cinética en cada tramo con la siguiente expresión:
Et = E1 + E2 (1)
donde
Eo = energía cinética total disponible al inicio de recorrido
E1 = energía cinética al finalizar el tramo
E2 = energía cinética consumida en el trabajo de frenado.
Sabemos que la Energía Cinética viene dada por la expresión

Ec =
que sustituimos en (1)

= + (2)
donde con m/2 como factor común, luego de anular los iguales y extraer la raíz cuadrada queda:
vt = (3)

donde:
Vt = velocidad al inicio del tramo, antes de frenar
V1 = velocidad al finalizar el tramo, después frenar , sin detenerse
V2 = Δv =caída de velocidad producida por el trabajo de frenado.
Como ejemplo, calcularemos la velocidad inicial en el tramo BC, antes del trabajo de frenado. Nuestra incógnita es la velocidad inicial Vt.
Tomando valores de la planilla, resulta:
V1 = 27.98 m/seg
V22 = 2*μ*g*s = 2*16.67*0.5*9.81 = 163.5 m2/seg2
y sustituyendo en (3)Vt =
que es la velocidad en el inicio del tramo BC calculado en la planilla Excel®
Algunos autores proponen un método gráfico para resolver estos casos, teniendo en cuenta que la expresión (3) Vt está representada por la hipotenusa, siendo V1 y V2 los catetos. Se representan en escala gráfica los datos de V1 y V2 y se lee, en la misma escala, el valor de la hipotenusa, es decir, Vt o velocidad al inicio del tramo.
Volviendo a nuestro objetivo original, explicaremos las expresiones usadas para confeccionar el programa de cálculo (Excel®), elemento central de este complemento.
Los cálculos se hacen dividiendo en secciones la distancia total de frenado (o recorrido) y determinando las caídas de velocidad correspondientes a cada Sección.
El cálculo desarrollado por Seguridad Vial en la planilla Excel® se realiza en sentido retrospectivo, partiendo de una velocidad final nula, que corresponde al vehículo en reposo y, con las expresiones que veremos más adelante, determinando la velocidad que corresponde al instante de entrar en el tramo que se calcula.
Se empieza por la posición de descanso del vehículo y se trabaja retrospectivamente, hasta el punto inicial de frenado, usando para cada tramo la ecuación que sigue:
Vo = (4)
Que se deduce a partir de dos conceptos:
1) El trabajo de frenado y la variación de la energía cinética
2) las leyes del movimiento uniformemente variado.
El frenado (o deceleración) se inicia cuando la velocidad tiene el valor que corresponde a la velocidad inicial, a la que designamos con Vo.
En ese punto, le energía cinética del móvil se expresa con la ecuación:
Eco=½*m*Vo2
El móvil decelera en el tramo, es decir que llega a su término con una energía
Ecf=½*m*Vf2
Donde Eco s la energía al iniciarse el tramo y Ecf la que resta en el móvil luego de su trabajo de frenado.
La variación de la Energía de movimiento se ha producido a consecuencia del trabajo de frenado, que viene dado por la expresión:
Tf =μ*W*s (Kgm) (5)
Donde
μ=a/g = coeficiente de roce, adimensional
siendo a = μ*g (m/seg*seg)
W= m*g = peso (Kg.peso)del móvil
s= distancia recorrida (m)
De donde
Tf=μ*m*g*s = m*a*s (Kgm) (6)
Donde a = aceleración (en nuestro caso negativa), pues el móvil está decelerando, expresada en m/seg2
Pero hemos visto también que el trabajo de frenado (Tf) viene expresado por la variación de Energía cinética entre el principio y el final del tramo, es decir:
Tf = m*a*s = Eco - Ecf
Tf =½*m*Vo2 -½*m*Vf2
Tf =m*a*s = ½*m *( Vo2– Vf2)
Y simplificando y pasando términos:
2*a*s = ( Vo2– Vf2)
y, finalmente:

En el ejemplo de cálculo que se acompaña, se dividen los recorridos en los tramos que corresponden a las distintos superficies y coeficientes de rozamiento, indicando, en cada caso sus longitudes. Los valores se expresan como sigue:
Longitudes >> metros (m) - Tiempos >> segundos (seg.) - Velocidades >> m/seg.

Recorrido del Renault

longitude coef.friccion caída velocidad
tramo AB 38 pavimento 0,85
tramo BC 16,67 cesped 0,5
tramo CD 24 pavimento 0,85
tramo DF 39 cesped 0,5

TOTAL 117,67

RESISTENCIA RODADURA (coefic.de rozamiento)
Hormigon 0,015 dubbel
Tierra/pasto 0,1 dubbel
asfalto 0,04 chudakov
ASFALTO 0,015 CEAC
Tierra, bien compacta 0,1 CEAC
tierra/pasto/arena 0,2 CEAC


La planilla de cálculo, que se exhibe a continuación, se compone de varios “cuadros”, cada uno de los cuales corresponde a un sector del que se conoce la longitud, el coeficiente de rozamiento y la velocidad final.
Explicamos como ejemplo como se resuelve el último tramo del recorrido del Renault (primer “cuadro”) y el lector podrá luego deducir el método que permite conocer las caídas de velocidad en cada uno de los tramos de que hablamos.
La longitud de este último tramo (AB) es de 39 metros, su coeficiente de roce 0.5, asignado al desplazamiento frenando sobre el césped y su velocidad final 0 m/seg. (reposo).
Por aplicación de las ecuaciones desarrolladas se determina el valor de la velocidad inicial, que resulta ser la velocidad final del tramo que lo precede.
Para facilitar y acelerar el cálculo se ha incorporado una Tabla de datos donde el experto coloca los valores del coeficiente de roce (adimensional) y la longitud (metros) de cada tramo.
Cada valor ha sido toma de una tabla o calculado previamente con las expresiones de las formulas (3) a (6).
Excel® carga los datos de longitud del tramo y coeficiente de roce, que el operador introdujo en cada cuadro de la Tabla. El programa, automáticamente, calcula e ingresa los valores de las velocidades finales, provenientes del cálculo del “cuadro” anterior, al tiempo que convierte los valores de m/seg. a kph. para el tramo, que aparecen al costado derecho de cada “cuadro”.
Yendo en sentido retrospectivo, con el mismo método, se llega a conocer la velocidad a que se desplazaba el vehículo al inicio de su carrera.
Naturalmente, la planilla de cálculo se aplica con la misma facilidad cuando se trata de un único tramo, en cuyo caso se asigna el valor 0 (cero) a las longitudes de los tramos inexistentes.
No está en discusión en este caso las magnitudes asignadas a los coeficientes de roce utilizados, por cuanto el propósito de este informe es presentar el desarrollo del programa de cálculo.
Por otra parte, los coeficientes a usar se deberán ajustar a las distintas superficies y las condiciones de deceleración según sean por aplicación de los frenos, con ruedas bloqueadas, frenando con motor o rodando.
Debe destacarse que en el caso de cálculos de pérdidas de velocidad para varios tramos, suele ocurrir que existen secciones del recorrido en los que un eje (o un juego de neumáticos) se desplace sobre una superficie con coeficiente de roce μ1 y las del otro eje sobre una superficie con coeficiente de roce μ2. Corresponde en ese caso calcular el promedio de ambos y utilizarlo para el cálculos.
Cada experto realizará los cálculos asignando los coeficientes de roce que mejor se adapten a las superficies de desplazamiento en los tramos que correspondan, según sea su fuente de datos.
Una expresión muy conocida y aplicada por el profesional es la que expresa la velocidad inicial como suma de los cuadrados de las caídas de velocidad en cada uno de los tramos en que se divide el recorrido.
Nuestra expresión toma la forma
(7)
y se deduce considerando que la Energía cinética total consumido en el trabajo de frenado a lo largo de n tramos resulta ser la suma de las pérdidas de energía parciales en cada uno de los n tramos, que se expresa como
Et = E1 + E2 + …-+En
Sustituyendo símbolos:
½*m*Vt2 = ½*m*V1 2 + ½*m*V22 +………+½*m*Vn2
Simplificando factores comunes en ambos términos y extrayendo la raíz cuadrada, resulta finalmente la expresión (7) más arriba expuesta.
El trabajo de frenado en cada tramo, equivalente a la pérdida de velocidad, vimos que se expresa como
Tf=μ*m*g*st = m*a*st (Kgm) (6)
Siendo:
½*m*Vn2=μ*m*g*sn (Kgm)
de donde resulta
Vn2=2*μ*g*sn (Kgm)
que se incorporan en (7)
(7)
Las magnitudes y valores resultantes se leen en la tabla de “cuadrados” agregada al pie del módulo de cálculo de Excel®,
Recomendamos realizar los cálculos con los tres métodos según sea la modalidad de trabajo del Ingeniero. (cálculo de la caída total de velocidad usando la expresión de los cuadrados de las expresiones (2) y (3) o bien con el método gráfico del triángulo rectángulo y finalmente con la suma de cuadrados (7), comparando los resultados con los que resultan de la planilla Excel®.
La ventaja del método informático es la velocidad de ejecución que se logra cuando se dispone de los datos para alimentar los cuadros. Ofrece la ventaja adicional de determinar las velocidades del móvil en estudio en los puntos de ingreso y finalización de cada tramo.
El cálculo debe también tener en cuenta la energía consumida en el final de la carrera, si hubiese un resto de energía residual consumido en un impacto contra algún objeto o accidente del camino, vuelco, etc.
El lector podrá advertir rápidamente la rapidez con que se efectúan los cálculos, que permiten analizar un sinnúmero de alternativas, pues sólo se requiere reemplazar en los cuadros los valores de μ y longitud de tramo s. Naturalmente, es una herramienta útil para simulaciones.

Ing. H. Bruno Alvarez
City Bell - Argentina

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BIBLIOGRAFIA
Traffic Accident Reconstruction Lynn Fricke.
Excel® 2000 – Compumagazine

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